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16.已知函數(shù)f(x)=1xax+lnx,且a>0
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)在[1,e]的最大值和最小值.

分析 (1)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),把函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立問題,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于正實數(shù)a的不等式問題即可求出正實數(shù)a的取值范圍;
(2)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),進而求出其在[1,e]上的單調(diào)性即可求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值.

解答 解:(1)∵f(x)=1xax+lnx,
∴f′(x)=ax1ax2(a>0),
∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)
∴f′(x)≥0對x∈[1,+∞)恒成立,
∴ax-1≥0對x∈[1,+∞)恒成立,
即a≥1x對x∈[1,+∞)恒成立,
∴a≥1;
(2)當(dāng)a=1時,f′(x)=x1x2,x∈[1e,e],
若x∈[1e,1)則f′(x)<0,若x∈(1,e],則f′(x)>0,
故x=1是f(x)在區(qū)間[1e,e]上的惟一極小值點,也是最小值點,
故f(x)min=f(1)=0;
∵f(1e)=e-2>12,f(e)=1e12
∴f(x)在[1e,e]上最大值為e-2,
綜上知函數(shù)f(x)區(qū)間[1e,e]上最大值是e-2,最小值是0.

點評 本題第二問考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在(a,b)內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f(a),f(b) 比較而得到的.

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