Question

求證：n棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)是f(n)＝n(n－3)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n＝4時(shí)，四棱柱有2個(gè)對(duì)角面，×4×(4－3)＝2，命題成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N+，k≥4)時(shí)命題成立，即符合條件的棱柱的對(duì)角面有f(k)＝k(k－3)個(gè)，現(xiàn)在考慮n＝k＋1的情形，第k＋1條棱Ak+1Bk+1與其余和它不相鄰的k－2條棱分別增加了1個(gè)對(duì)角面共k－2個(gè)，而面A1B1BkAk變成了對(duì)角面，因此對(duì)角面的個(gè)數(shù)變?yōu)閒(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－2) 　�。�(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3] 　　即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立． 　　由(1)(2)可知，命題對(duì)n≥4，n∈N+都成立． 　　思路分析：利用“遞推”法，f(k＋1)－f(k)來(lái)尋找n＝k＋1比n＝k時(shí)增加的對(duì)角面的個(gè)數(shù)．