Question

設(shè)是函數(shù)的一個極值點.

(1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

(2）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以，那么a≠－4.

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區(qū)間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；

在區(qū)間（3，—a—1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)；

在區(qū)間（—a—1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù).

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區(qū)間（－∞，—a—1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；

在區(qū)間（—a—1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；

在區(qū)間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù).

(Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，

且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只須僅須

(a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是（0，）.