Question

已知函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=2對稱，且當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，則下列表示大小關系的式子正確的是（　　）

• A、f（2^a）＜f（3）＜f（log₂a）
• B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a)
• C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a)
• D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3)

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性和對數(shù)的基本運算即可得到結論．

解答：解：由xf′（x）＞2f′（x），得（x-2）f′（x）＞0，
則當x＞2時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
當x＜2時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，4＜2^a＜16，
∵函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
∴f（log₂a）=f（4-log₂a），
∵1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，
∵當x＞2時，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴f（4-log₂a）＜f（3）＜f（2^a），
即f(log2a)＜f(3)＜f(2a)，
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用對稱性將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．