Question

對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．

（Ⅰ）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）是，理由詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）判斷方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解時(shí)，通過(guò)分離參數(shù)求取值范圍；（Ⅲ）在不便于分離參數(shù)時(shí)，通二次函數(shù)的圖象判斷一元二次方程根的分布.

試題解析：為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于的方程有解．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

方程即有解，

所以為“局部奇函數(shù)”．                                            3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，可化為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023084025864001/SYS201310302309515354401232_DA.files/image004.png">的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023084025864001/SYS201310302309515354401232_DA.files/image011.png">，所以方程在上有解．     5分

令，則．

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，．               7分

所以時(shí)，．

所以，即．                                  9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，可化為

．

設(shè)，則，

從而在有解即可保證為“局部奇函數(shù)”．    11分

令，

1° 當(dāng)，在有解，

由，即，解得；         13分

2° 當(dāng)時(shí)，在有解等價(jià)于

解得．                  15分

（說(shuō)明：也可轉(zhuǎn)化為大根大于等于2求解）

綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．                    16分

考點(diǎn)：函數(shù)的值域、方程解的存在性的判定.