Question

設(shè)點D為等腰△ABC的底邊BC上一點，F(xiàn)為過A、D、C三點的圓在△ABC內(nèi)的弧上一點，過B、D、F三點的圓與邊AB交于點E．求證：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

Answer 1

證明：設(shè)AF的延長線交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此．
于是要證CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需證明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我們有
進(jìn)一步有
因此要證（2），只需證明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK（3）
而（3）?S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4）
事實上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得證．
分析：要證CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需證明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）；先設(shè)AF的延長線交⊙BDF于K，通過證得兩個三角形相似：△AEF～△AKB，得到一個比例式．又注意到∠KBD=∠KFD=∠C，利用兩個三角形△ABD和△ADK的面積公式，最后只須證明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK也就是要證S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4），事實上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，從而問題解決．
點評：此題主要考查的是與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想．正確的作出輔助線得到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解答此題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．