【題目】已知以點(diǎn)CtR,t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)B,其中O為原點(diǎn).

1)求證:OAB的面積為定值;

2)設(shè)直線y=-2x4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OMON,求圓C的方程.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)圓C的方程為(x22+(y125

【解析】

1)先求出圓C的方程(xt2t2,再求出|OA|,|0B|的長(zhǎng),即得OAB的面積為定值;(2)根據(jù)t得到t2t=-2,再對(duì)t分類討論得到圓C的方程.

1)證明:因?yàn)閳AC過(guò)原點(diǎn)O,所以OC2t2.

設(shè)圓C的方程是(xt2t2,

x0,得y10,y2;

y0,得x10,x22t

所以SOABOA·OB×|2t|×||4,

OAB的面積為定值.

2)因?yàn)?/span>OMON,CMCN,所以OC垂直平分線段MN.

因?yàn)?/span>kMN=-2,所以kOC.

所以t,解得t2t=-2.

當(dāng)t2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),OC,

此時(shí),圓心C到直線y=-2x4的距離d<,圓C與直線y=-2x4相交于兩點(diǎn).

符合題意,此時(shí),圓的方程為(x22+(y125.

當(dāng)t=-2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),OC,此時(shí)C到直線y=-2x4的距離d.C與直線y=-2x4不相交,

所以t=-2不符合題意,舍去.

所以圓C的方程為(x22+(y125.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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