Question

已知：sin230°+sin290°+sin2150°=

3

2

；sin25°+sin265°+sin2125°=

3

2

sin220°+sin280°+sin2140°=

3

2

通過觀察上述三個等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：

 

=

3

2

（*），并給出（*）式的證明．

Answer 1

分析：分析已知條件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個均為正弦的平方，且三個角組成一個以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答：解：一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

…（4分）
證明    左邊=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

…（7分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°）]
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]…（9分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]…（11分）
=

3

2

=右邊
∴原式得證                                    …（12分）
（將一般形式寫成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

，
sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=

3

2

等均正確，其證明過程可參照給分．）
故答案為：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．