Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）求f（x）的值域；
（4）解不等式f(x)＞

7

9

．

Answer 1

分析：（1）用定義判斷函數(shù)的奇偶性．其步驟為先判斷定義域的對稱性，再判斷f（x）與f（-x）的關系，另外注意本題書寫的格式---先判斷后證明．
（2）用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟是任取兩個自變量，對其函數(shù)值作差，判斷其符號，得出單調(diào)性結論，注意本題書寫的格式---先判斷后證明．
（3）由（2）的結論求值域，求此類函數(shù)的值域時，注意到分子與分母是齊次式，故一般采取先分離常數(shù)，求值域．
（4）利用單調(diào)性解不等式，本題為增函數(shù)，故找出函數(shù)值為

7

9

的自變量，即可求出其解集．此為解不等式的一類常用方法．

解答：解：（1）f（x）為奇函數(shù)．
因為f（x）的定義域為R，對?x∈R
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
∵對-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1-2x2＜0，
f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

又f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
（3）∵f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（x）∈（-1，1）．
（4）∵f(3)=

7

9

；
又∵f(x)＞

7

9

即為f（x）＞f（3）；
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集為{x|x＞3}

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查全面，一題多考，知識覆蓋面廣，技能性強．