Question

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)M是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若A、B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

OA

•

OB

=-4，證明：直線AB必過一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于點(diǎn)P到直線l：x=-1的距離，由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是拋物線，從而求得方程；
（2）設(shè)直線AB：y=kx+b，將直線AB代入到y(tǒng)²=4x中得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可得到k，b的關(guān)系式，即可證明直線AB恒過定點(diǎn)．

解答： （1）解：連接PF，由于過點(diǎn)M垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)P，
則有|PF|=|PM|，即點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于點(diǎn)P到直線l：x=-1的距離，
由拋物線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡C是：以F為焦點(diǎn)，以直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為：y²=4x；
（2）證明：設(shè)直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB代入到y(tǒng)²=4x中得，k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
所以x₁+x₂=

4-2kb

k2

，x₁x₂=

b2

k2

，
又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=（1+k²）•

b2

k2

+kb•

4-2kb

k2

+b²=-4，
解得，b=-2k，
則有直線AB：y=kx-2k，即有y=k（x-2）．
故直線AB必過一定點(diǎn)，且為（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵．