【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.
(1)當n∈N*時,求f(n)的表達式;
(2)設(shè)an=n·f(n),n∈N*,求證:a1+a2+a3+…+an<2;
(3)設(shè)bn=(9-n) ,n∈N*,Sn為{bn}的前n項和,當Sn最大時,求n的值.
【答案】(1) ;(2)證明見解析;(3)當n=8或n=9時,Sn取得最大值.
【解析】試題分析:
(1)由題意結(jié)合遞推關(guān)系可得:{f(n)}是首項為,公比為的等比數(shù)列,則.
(2)由題意可得: ,錯位相減有: ,則有a1+a2+a3+…+an<2;
(3)結(jié)合(1)的結(jié)論可得: ,則當n=9時,bn=0;當n>9時,bn<0.故當n=8或n=9時,Sn取得最大值.
試題解析:
(1)解 令x=n,y=1,
得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),
∴{f(n)}是首項為,公比為的等比數(shù)列,
∴f(n)=()n.
(2)證明 設(shè)Tn為{an}的前n項和,
∵an=n·f(n)=n·()n,
∴Tn=+2×()2+3×()3+…+n×()n,
Tn=()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,
兩式相減得Tn=+()2+()3+…+()n-n×()n+1,
=1-()n-n×()n+1,
∴Tn=2-()n-1-n×()n<2.
(3)解 ∵f(n)=()n,
∴bn=(9-n)
=(9-n)=.
∴當n≤8時,bn>0;
當n=9時,bn=0;
當n>9時,bn<0.
∴當n=8或n=9時,Sn取得最大值.
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【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).
(1)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若方程在上有且只有一個實根,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).
(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等,則直線l的方程為__________________________;
(2)若a>-1,直線l與x、y軸分別交于M、N兩點,O為坐標原點,則△OMN的面積取最小值時,直線l對應(yīng)的方程為________________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若且,求證: .
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【題目】已知圓C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C2的極坐標方程為.
(1)將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程,將圓C2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)圓C1、C2是否相交,若相交,請求出公共弦的長;若不相交,請說明理由.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)設(shè) ,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點的A,B兩點,求△AOB的面積.
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【題目】若函數(shù)對定義域D內(nèi)的每一個x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,則稱f (x)為“自倒函數(shù)”.給出下列命題:
①是自倒函數(shù);
②自倒函數(shù)f (x)可以是奇函數(shù);
③自倒函數(shù)f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函數(shù),且定義域相同,則也是自倒函數(shù).
則以上命題正確的是_______(寫出所有正確命題的序號).
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【題目】給出集合.
(1)若,求證:函數(shù);
(2)由(1)分析可知, 是周期函數(shù)且是奇函數(shù),于是張三同學得出兩個命
題:命題甲:集合中的元素都是周期函數(shù).命題乙:集合中的元素都是奇函數(shù). 請對此
給出判斷,如果正確,請證明;如果不正確,請舉反例;
(3)若,數(shù)列滿足: ,且 ,數(shù)列的前項
和為,試問是否存在實數(shù)、,使得任意的,都有成立,若
存在,求出、的取值范圍,若不存在,說明理由.
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