Question

橢圓的中心為原點O，焦點在y軸上，離心率，過P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點，且，求△AOB面積的最大值及取得最大值時橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)橢圓的方程為，直線l的方程為y=kx+1，由，知，把橢圓方程化為3x²+y²=3b²，聯(lián)立，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0．由此能求出△AOB面積的最大值為和取得最大值時橢圓的方程．
解答：解：設(shè)橢圓的方程為，
直線l的方程為y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴，則橢圓方程可化為，即3x²+y²=3b²，
聯(lián)立，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0 （*）
有，
而由已知，有x₁=-2x₂，代入得，
∵k≠0
∴
=
=
=
≤
=，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號                                                    （8分）
由，得，將，代入（*）式得，
所以△AOB面積的最大值為，取得最大值時橢圓的方程為．（13分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．