Question

已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，若f（A）+sin（2A-

π

6

）=1，b+c=7，△ABC的面積為2

3

，求邊a的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，根據(jù)f（A）+sin（2A-

π

6

）=1，求得A，根據(jù)三角形面積公式求得bc的值，利用余弦定理求得a．

解答： 解：（1）由題意得f（x）=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin（2x+

π

6

），
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，

解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（2）由f（A）+sin（2A-

π

6

）=1得：

1

2

-sin（2A+

π

6

）+sin（2A-

π

6

）=1，
化簡(jiǎn)得：cos2A=-

1

2

，
又因?yàn)?＜A＜

π

2

，解得：A=

π

3

，
由題意知：S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，解得bc=8，
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=49-2×8×（1+

1

2

）=25，
∴a=5

點(diǎn)評(píng)：本題只要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用．