Question

已知數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，且a_n＞0．
（1）若a₂-a₁=8，a₃=m．
①當(dāng)m=48時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②若數(shù)列 {a_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，求a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值．

Answer 1

（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得q＞0．a(chǎn)₁ 
①當(dāng)m=48時(shí)，由a₂-a₁=8，a₃=48 可得

a1q-a1=8 a1q2=48

，解得

a1=8(2- 3 ) q =3+ 3

，或

a1=8(2+ 3 ) q =3- 3

．
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為 a_n=8（2-

3

）(3+

3

)n-1，或  a_n=8（2+

3

） (3-

3

)n-1．
②若數(shù)列 {a_n}是唯一的，則

a1q-a1=8 a1q2=m

有唯一的正數(shù)解，即方程8q²-mq+m=0 有唯一的正數(shù)解，由△=m²-32m=0 可得m=32，
此時(shí)，q=2，a_n=2ⁿ⁺²．
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，則有 q^k（a_k+a_k-1+…+a₁）-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，q＞1，
即 （q^k-1）•（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，即 a₁（q^k-1）•（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=8．
∴a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k =a₁•q^2k•（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=a₁•q^2k•

8

a1(qk-1)

=

8•q2k

(qk-1)

 
=

8[(qk-1)2+2(qk-1)+1]

(qk-1)

=8[（q^k-1）+2+

1

qk-1

]≥8（2+2）=32，當(dāng)且僅當(dāng) q^k-1=

1

qk-1

 時(shí)，等號(hào)成立，
故a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值為 32．