Question

已知函數f（x）=lg（a^x-b^x），a＞1＞b＞0
（1）求f（x）的定義域；
（2）在函數f（x）的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸；
（3）當a，b滿足什么條件時，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對數函數的真數大于零求解．
（2）當函數在定義域上單調時，則不存在，當函數在定義域上不單調時，則存在，所以要證明函數是否單調，可用定義法，也可用導數法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數的最小值非負即可，由（2）可知是增函數，所以只要f（1）≥0即可．
解答：解：（1）由a^x-b^x＞0得，
由于所以x＞0，
即f（x）的定義域為（0，+∞）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂

∵a＞1＞b＞0，
∴y=a^x在R上為增函數，y=b^x在R上為減函數，
∴
∴，即
又∵y=lgx在（0，+∞）上為增函數，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數．
所以任取x₁≠x₂則必有y₁≠y₂故函函數f（x）的圖象L不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸．
（3）因為f（x）是增函數，所以當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），
這樣只需f（1）=lg（a-b）≥0，
即當a-b≥1時，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
點評：本題主要考查函數的定義域，單調性及最值，這是常考常新的類型，在轉化問題和靈活運用知識，方法方法要求較高．