Question

已知：橢圓C

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

1

2

，且橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若直線L：y=kx+m與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知得到2a，結(jié)合離心率求出c，由b²=a²-c²求得b²，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出兩交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，由以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)得到

AM

•

BM

=0，代入向量坐標(biāo)后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到k與m的關(guān)系，進(jìn)一步由直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）解：依題意知2a=4，則a=2，
又e=

c

a

=

1

2

，∴c=1，得b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
知橢圓C的右頂點(diǎn)為M（2，0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
且△=3+4k²-m²，
x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
而AM⊥BM，即

AM

•

BM

=0，
∴

(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=0 y1=kx1+m y2=kx2+m

⇒(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0，
∴(1+k2)•

4(m2-3)

3+4k2

-(mk-2)•

8mk

3+4k2

+m2+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0，即（m+2k）（7m+2k）=0，
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2）過定點(diǎn)（2，0）為右頂點(diǎn)，與已知矛盾；
當(dāng)m=-

2

7

k時(shí)，l：y=k(x-

2

7

)過定點(diǎn)(

2

7

，0)，此時(shí)△=3+4k²-m²＞0；
綜上知，直線l過定點(diǎn)(

2

7

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，是高考試卷中的壓軸題．