Question

祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國(guó)南北朝杰出的數(shù)學(xué)家、祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜?lái)的．祖暅原理的內(nèi)容是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．可以用詩(shī)句“兩個(gè)胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面積，兩人必然同樣胖”形象表示其內(nèi)涵．利用祖暅原理可以推導(dǎo)幾何體的體積公式，關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)參照體．試用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式．

Answer 1

分析：由祖暅原理的內(nèi)容的提示此題可先觀察V_圓錐、V_半球、V_圓柱這三個(gè)量（等底等高）之間的不等關(guān)系，再構(gòu)造一個(gè)參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)造出，如圖所示．接下來(lái)利用祖暅原理證明猜想．

解答：解：我們先推導(dǎo)半球的體積．為了計(jì)算半徑為R的半球的體積，我們先觀察V_圓錐、V_半球、V_圓柱這三個(gè)量（等底等高）之間的不等關(guān)系，

可以發(fā)現(xiàn)V_圓錐＜V_半球＜V_圓柱，即

1

3

πR3＜V_半球＜πR³，根據(jù)這一不等關(guān)系，我們可以猜測(cè)V_半球=

2

3

πR³，并且由猜測(cè)可發(fā)現(xiàn)V_半球=V_圓柱-V_圓錐．
下面進(jìn)一步驗(yàn)證了猜想的可靠性．關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)造出，如圖所示．下面利用祖暅原理證明猜想．

證明：用平行于平面α的任意一個(gè)平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面．
如果截平面與平面α的距離為l，那么圓面半徑r=

R2-l2

，圓環(huán)面的大圓半徑為R，小圓半徑為r．
因此S_圓=πr²=π（R²-l²），
S_環(huán)=πR²-πl(wèi)²=π（R²-l²），∴S_圓=S_環(huán)．
根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即V_半球=πR2×R-

1

3

πR2×R=

2

3

πR3，
所以V_球=

4

3

πR3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查祖暅原理、幾何體的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．