Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)，求的最小值；

（Ⅱ）如何上下平移的圖象，使得的圖象有公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)處切線相同.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 1；（Ⅱ）的圖象向下平移1個(gè)單位后，兩函數(shù)圖象在公共點(diǎn)（1,0）處有相同的切線

【解析】

試題分析：(Ⅰ)先求導(dǎo)，再求導(dǎo)數(shù)等于0的根，解導(dǎo)數(shù)大于0、小于0的不等式得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求其最值。（Ⅱ）令，的圖象有公共點(diǎn)即有解。公共點(diǎn)處切線相同.因?yàn)榍悬c(diǎn)為同一點(diǎn)只需斜率相等即可。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是在切點(diǎn)處切線的斜率，所以只需兩函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等。解方程組即可求出。

試題解析：(Ⅰ)，則， 2分

令解得， 3分

因時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 5分

所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小，的最小值為1. 7分

（Ⅱ）設(shè)上下平移的圖象為c個(gè)單位的函數(shù)解析式為.

設(shè)的公共點(diǎn)為.

依題意有： 10分

解得，

即將的圖象向下平移1個(gè)單位后，兩函數(shù)圖象在公共點(diǎn)（1,0）處有相同的切線. 13分

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。