Question

已知f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）若a=-

1

2

，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a≤-2時(shí)求證：對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)題意可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可；
（3）若a≤-2，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可證明不等式．

解答： 解：∵f（x）=（a+1）lnx+ax²+1的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=-

1

2

，f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x²+1，
∴f′（x）=

1

2x

-x=

1-2x2

2x

，
令f′（x）≥0，解得0＜x≤

2

2

，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2

2

]，
（2）對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（x）＜0，
∴f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

＜0在（0，+∞）恒成立，
∴a＜

-1

2x2+1

在（0，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=

-1

2x2+1

，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（0）=-1，
∴a≤-1
（3）由（2）可知f（x）在（0，+∞）單調(diào)減，
∴不妨設(shè)x₁＞x₂＞0
則|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂，
即f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
∴f（x）+4x在（0，+∞）單調(diào)減，
設(shè)h（x）=f（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1（x＞0），
∴h′（x）=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

∵a≤-2，
∴△=16-4×2a×（a+1）=-8（a²+a-2）=-8（a+2）（a-1）≤0，
∴h′（x）≤0恒成立．
∴h（x）為減函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|對(duì)?x∈（0，+∞）均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度較大．