【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,DC∥AB,PA=1,AB=2,PD=BC= .
(1)求證:平面PAD⊥平面PCD;
(2)試在棱PB上確定一點E,使截面AEC把該幾何體分成的兩部分PDCEA與EACB的體積比為2:1;
(3)在(2)的條件下,求二面角E﹣AC﹣P的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵AD⊥AB,DC∥AB,∴DC⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,DC平面ABCD,∴DC⊥PA,
∵AD∩PA=A,∴DC⊥平面PAD,
∵DC平面PCD,
∴平面PAD⊥平面PCD
(2)解:作EF⊥AB于F點,
在△ABP中,PA⊥AB,∴EF∥PA,
∴EF⊥平面ABCD,
設(shè)EF=h,AD= =1, ,
則 ,
= = ,
由VPDCEA:VEACB=2:1,得( ): =2:1,解得h= ,
EF= PA,故E為PB的中點
(3)解:連結(jié)FC,F(xiàn)D,F(xiàn)D與AC交于點O,連結(jié)OE,
由(2)知EF⊥平面ABCD,∴EF⊥AC,
∵ADCF為正方形,∴FO⊥AC,
∵FO∩EF=F,
∴AC⊥平面EFO,∴EO⊥AC,
∴∠EOF是二面角E﹣AC﹣B的平面角,
∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ABCD,
∴二面角E﹣ACB與二面角E﹣AC﹣P互余,
設(shè)二面角E﹣AC﹣P的平面角為θ,
則cosθ=sin∠EOF,
在Rt△EOF中,EF= ,F(xiàn)O= ,EO= ,
cosθ=sin ,
∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值為
【解析】(1)推導(dǎo)出DC⊥AD,DC⊥PA,由此能證明平面PAD⊥平面PCD.(2)作EF⊥AB于F點,則EF⊥平面ABCD,設(shè)EF=h,由VPDCEA:VEACB=2:1,解得h= ,從而得到E為PB的中點.(3)連結(jié)FC,F(xiàn)D,F(xiàn)D與AC交于點O,連結(jié)OE,推導(dǎo)出EF⊥AC,F(xiàn)O⊥AC,EO⊥AC,從而∠EOF是二面角E﹣AC﹣B的平面角,由二面角E﹣ACB與二面角E﹣AC﹣P互余,能求出二面角E﹣AC﹣P的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2 + sinωx﹣ (ω>0),x∈R,若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點,則ω的取值范圍是( )
A.(0, ]
B.(0, ]∪[ ,1)
C.(0, ]
D.(0, ]∪[ , ]
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鮮花店根據(jù)以往某品種鮮花的銷售記錄,繪制出日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率,且假設(shè)每天的銷售量相互獨立.
(1)求在未來的連續(xù)4天中,有2天的日銷售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率;
(2)用表示在未來4天里日銷售量不低于100枝的天數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個四棱錐底面為正方形,頂點在底面的射影為正方形的中心,且該四棱錐的體積為9,當(dāng)其外接球表面積最小時,它的高為( )
A.3
B.2
C.2
D.3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚奧運精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:
(1)求第四小組的頻率,并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖;
(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直線l過定點A(1,0).
(1)若l與圓C相切,求l的方程;
(2)若l與圓C相交于P、Q兩點,若|PQ|=2 ,求此時直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一直線l過直線l1:3x﹣y=3和直線l2:x﹣2y=2的交點P,且與直線l3:x﹣y+1=0垂直.
(1)求直線l的方程;
(2)若直線l與圓心在x正半軸上的半徑為 的圓C相切,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M為CD的中點.如圖將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:BM⊥平面ADM;
(2)若點E是線段DB上的中點,求三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算題
(1)已知cos( +x)= ,( <x< ),求 的值.
(2)若 , 是夾角60°的兩個單位向量,求 =2 + 與 =﹣3 +2 的夾角.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com