Question

設函數
（1）求函數y=T（x²）和y=（T（x））²的解析式；
（2）是否存在實數a，使得T（x）+a²=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當時，求y=T₄（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當時（i∈N^*，1≤i≤15），都有恒成立．
②若方程T₄（x）=kx恰有15個不同的實數根，確定k的取值；并求這15個不同的實數根的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）先考慮討論x²與大小，然后把x²代入已知函數解析式中可求y=T（x²），對已知所給函數解析式直接進行平方可求y=（T（x））²的解析式；
（2）分別求出T（x）+a²與T（x+a），代入使其對應項相等即可建立關于a的方程，可求

（3））①當時，根據函數定義域的要求可知，，結合此規(guī)律尋求函數的遞推規(guī)律可求故有
②由①可知當時，有T₄（x）=16x，根據命題的結論可得，，代入可求，同理歸納可求
解答：解：（1）函數
函數…4分
（2），
…6分
則當且僅當a²=2a且a²=-2a時，即a=0．
綜上可知當a=0時，有T（x）+a²=T（x+a）=T（x）恒成立．…8分
（3）①當時，對于任意的正整數j∈N^*，1≤j≤3，
都有，故有 ．…13分
②由①可知當時，有T₄（x）=16x，根據命題的結論可得，
當時，，
故有，
因此同理歸納得到，當（i∈N，0≤i≤15）時，…15分
時，解方程T₄（x）=kx得，
要使方程T₄（x）=kx在x∈[0，1]上恰有15個不同的實數根，
則必須解得
方程的根（n∈N^*，1≤n≤15）…17分
這15個不同的實數根的和為：S=x₁+x₂+…+x₁₄+x₁₅=．…18分．
點評：本題以新定義為載體，主要考查了函數知識的綜合應用，及邏輯推理、分析與運算的綜合能力