Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C₁，點(diǎn)在曲線C₁上，橢圓C的焦點(diǎn)是雙曲線C₁的頂點(diǎn)，且橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)M到直線的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線C₁和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)等軸雙曲線C₁的方程，利用C₁過點(diǎn)，即可求得等軸雙曲線C₁的方程；根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)即橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)橢圓的方程，利用M到直線的距離為4，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程代入橢圓方程并化簡，可得一元二次方程，進(jìn)而可表示四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等軸雙曲線C₁的方程為x²-y²=λ（λ≠0）
因C₁過點(diǎn)，所以，解得λ=4
所以等軸雙曲線C₁的方程為x²-y²=4…（3分）
因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)即橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）
所以可設(shè)橢圓的方程為，且M（0，b）
因?yàn)镸（0，b）到直線的距離為4，所以
∴
∴橢圓C的方程為…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為
把代入并化簡得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韋達(dá)定理得…（9分）
又直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，所以|PQ|=6
所以四邊形APBQ的面積
則當(dāng)t=0，面積的最大值為，即…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．