【題目】動點在圓: 上運動,定點,線段的垂直平分線與直線的交點為.
(Ⅰ)求的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點的直線, 分別交軌跡于, 兩點和, 兩點,且.證明:過和中點的直線過定點.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)先利用線段的中垂線的性質和橢圓的定義判定動點的軌跡為橢圓,再求其軌跡方程;(Ⅱ)先利用直線的特殊情況探索直線過定點,再聯(lián)立直線和橢圓方程,得到關于的一元二次方程,利用根與系數的關系和中點坐標公式進行求解.
試題解析:(Ⅰ)連接,根據題意,可知,則,
故點的軌跡為以、為焦點,長軸長為4的橢圓,則, ,
∴,
所以點的軌跡的方程為.
(Ⅱ)分別設直線和的中點為、,當直線斜率不存在或為0時,分析可知直線與軸重合,當直線的斜率為1時,此時, ,直線的方程為,聯(lián)立解得直線經過定點.
下面證明一般性:當直線的斜率存在且不為0,1時,設直線的方程為,
則直線的方程為,設, ,
聯(lián)立消去得,
則,所以,
即,同理: ,
于是直線的斜率為,
故直線的方程為,
顯然時, ,故直線經過定點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的焦點、在軸上,且橢圓經過,過點的直線與交于點,與拋物線: 交于、兩點,當直線過時的周長為.
(Ⅰ)求的值和的方程;
(Ⅱ)以線段為直徑的圓是否經過上一定點,若經過一定點求出定點坐標,否則說明理由。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,設點, , 分別為橢圓的左頂點和左,右焦點,過點作斜率為的直線交橢圓于另一點,連接并延長交橢圓于點.
(1)求點的坐標(用表示);
(2)若,求的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0, ]上的單調性;
(3)當x∈[0, ]時,關于x的方程f(x)=a 恰有兩個不同的解,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中,甲、乙兩班各有6名選手參賽,在第一輪筆試環(huán)節(jié)中,評委將他們的筆試成績作為樣本數據,繪制成如圖所示的莖葉圖,為了增加結果的神秘感,主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績,只是告訴大家,如果某位選手的成績高于90分(不含90分),則直接“晉級”.
(1)求乙班總分超過甲班的概率;
(2)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分.若主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總人數為,求的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中, , , ,平面平面,四邊形是矩形, ,點在線段上.
(1)當為何值時, 平面?證明你的結論;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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