已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(2,9),B(6,-3),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且
OP
PB
,點(diǎn)Q是邊AB上一點(diǎn),且
OQ
AP
=0

(1)求實(shí)數(shù)λ的值與點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若R為線段OQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求
RO
•(
RA
+
RB
)
的取值范圍.
分析:(1)先設(shè)P(14,y),分別表示
OP
PB
然后由
OP
PB
,建立關(guān)于y的方程可求y.
(2)先設(shè)點(diǎn)Q(a,b),則可表示向量
OQ
,由
OQ
AP
=0
,可得3a=4b,再由點(diǎn)Q在邊AB上可得
12
-4
=
b+3
a-6
①②,從而可解a,b,進(jìn)而可得Q的坐標(biāo).
(3)由R為線段OQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)可設(shè)R(4t,3t),且0≤t≤1,則有分別表示
RO
,
RA
+
RB
,由向量的數(shù)量積整理可得
RO
•(
RA
+
RB
)=50t2-50t
,利用二次函數(shù)的知識(shí)可求取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)P(14,y),則
OP
=(14,y),
PB
=(-8,-3-y)
,由
OP
PB
,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-
7
4
,y=-7
,所以點(diǎn)P(14,-7).
(2)設(shè)點(diǎn)Q(a,b),則
OQ
=(a,b)
,又
AP
=(12,-16)
,則由
OQ
AP
=0
,得3a=4b①又點(diǎn)Q在邊AB上,所以
12
-4
=
b+3
a-6
,即3a+b-15=0②
聯(lián)立①②,解得a=4,b=3,所以點(diǎn)Q(4,3).
(3)因?yàn)镽為線段OQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),故設(shè)R(4t,3t),且0≤t≤1,則
RO
=(-4t,-3t)
,
RA
=(2-4t,9-3t)
,
RB
=(6-4t,-3-3t)
,
RA
+
RB
=(8-8t,6-6t)
,則
RO
•(
RA
+
RB
)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)
=50t2-50t=50(t-
1
2
)2-
25
2
(0≤t≤1)
,故
RO
•(
RA
+
RB
)
的取值范圍為[-
25
2
,0]
點(diǎn)評(píng):平面向量與函數(shù)的綜合問題中,向量的數(shù)量積、向量的平行一般是作為轉(zhuǎn)化的基本工具,最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是求解是函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高一第一學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題16分)
已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且.
(1)求實(shí)數(shù)的值與點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省高一第一學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題16分)

已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且.

(1)求實(shí)數(shù)的值與點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求的取值范圍.

 

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已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(2,9),B(6,-3), 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且,點(diǎn)Q是邊AB上一點(diǎn),且。
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)λ的值與點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且.點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值與點(diǎn)的坐標(biāo);     (Ⅱ)求點(diǎn)的坐標(biāo)。

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