Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當x∈（0，1]時，f（x）=2tx-4x³（t為常數(shù)）
（1）求f（x）的表達式；
（2）當0＜t≤6時，用定義證明f（x）在[-

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，

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]上單調(diào)遞增；
（3）當t＞6時，是否存在t使f（x）的圖象的最高點落在直線y=12上．若存在，求出t的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，適合當x∈（0，1]時，f（x）=2tx-4x³，求得f（-x），再由奇函數(shù)求得f（x）．
（2）先在[-1，1]上任取兩變量，且界定大小，再作差變形看符號；
（3）當t＞6時，

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＞1，由（2）得f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，令f（1）=12，從而得出存在t，滿足條件．

解答：解：（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，
∴f（-x）=-2tx+4x³，
∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=2tx-4x³，
∴f（x）的表達式為：f（x）=

2tx-4x 3，x∈(0，1] 0．x=0 2tx-4x 3，x∈[-1，0)

．
（2）解：先設(shè)x₁、x₂∈[0，

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]，令x₁＜x₂，則有x₁-x₂＜0．
f（x₁）-f（x₂）=2tx₁-4x₁³-（2tx₂-4x₂³）
=2t（x₁-x₂）-4（x₁³-x₂³）=（x₁-x₂）[2t+4（x₁²+x₂x₁+x₂²）]
∵x₁、x₁∈[0，

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]，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在[0，

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]上單調(diào)遞增．
（3）當t＞6時，

6t

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＞1，由（2）得f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
令f（1）=12，存在t=8，滿足條件．

點評：本題綜合考查函數(shù)奇偶性與函數(shù)解析式的求解及常用方法，把要求區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．屬中檔題；還考查用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要注意變量的任意性和變形要到位．