Question

函數(shù)y=x²-2ax+1在[0，2]上的值域為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先判斷二次函數(shù)的開口方向及對稱軸，然后根據(jù)對稱軸與已知區(qū)間的位置關系進行求解函數(shù)的最值，進而可求值域

解答： 解：y=x²-2ax+1的圖象開口向上，對稱軸為x=a，
①當a＜0時，y=x²-2ax+1在[0，2]上單調(diào)遞增，
y_min=1，y_max=5-4a，
∴函數(shù)的值域為[1，5-4a]；
②當a＞2時，函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，
y_min=5-4a，y_max=1，
∴函數(shù)的值域為[5-4a，1]；
③當0≤a≤1時，y=x²-2ax+1在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=5-4a，
此時函數(shù)的值域為[1-a²，5-4a]；
④當1＜a≤2時，y=x²-2ax+1在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=1，
此時函數(shù)的值域為[1-a²，1]；
綜上，當a＜0時，函數(shù)的值域為[1，5-4a]；當a＞2時，函數(shù)的值域為[5-4a，1]；當0≤a≤1時，函數(shù)的值域為[1-a²，5-4a]；
當1＜a≤2時，函數(shù)的值域為[1-a²，1]．
故答案為：當a＜0時，函數(shù)的值域為[1，5-4a]，
當a＞2時，函數(shù)的值域為[5-4a，1]；
當0≤a≤1時，函數(shù)的值域為[1-a²，5-4a]；
當1＜a≤2時，函數(shù)的值域為[1-a²，1]．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，解題的關鍵是確定函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關系，體現(xiàn)了分類討論思想的應用．