Question

函數(shù)y=x²-2ax+1在[0，2]上的值域?yàn)?div id="kwihah4" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷二次函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸與已知區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行求解函數(shù)的最值，進(jìn)而可求值域

解答： 解：y=x²-2ax+1的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=a，
①當(dāng)a＜0時(shí)，y=x²-2ax+1在[0，2]上單調(diào)遞增，
y_min=1，y_max=5-4a，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，5-4a]；
②當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，
y_min=5-4a，y_max=1，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇5-4a，1]；
③當(dāng)0≤a≤1時(shí)，y=x²-2ax+1在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=5-4a，
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇1-a²，5-4a]；
④當(dāng)1＜a≤2時(shí)，y=x²-2ax+1在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=1，
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇1-a²，1]；
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1，5-4a]；當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇5-4a，1]；當(dāng)0≤a≤1時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1-a²，5-4a]；
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1-a²，1]．
故答案為：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1，5-4a]，
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇5-4a，1]；
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1-a²，5-4a]；
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1-a²，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．