Question

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=

1

2

AB=1，將△ADC 沿AC折起，使D到D′．若二面角D′-AC-B為60°，則三棱錐D′-ABC的體積為

6

12

．

Answer 1

分析：欲求三棱錐D′-ABC的體積，只需找到它的底面與高，因為三角形ABC的面積易求，所以只需求出D′到平面ABC的距離即可，由（1）可知，即求線段D′E的長度，可放入三角形中，通過解三角形得到，這樣，三棱錐體積可求．

解答：解：設面ACD′為α，面ABC為β，取AC的中點E，連接D′E，再過D′作D′O⊥β，垂足為O，連接OE，則D′E⊥AC
∵AC⊥D′E，∴AC⊥OE
∴∠D′EO為二面角a-AC-β的平面角，∴∠D′EO=60°
在直角梯形ABCD中，由已知△DAC為等腰直角三角形，
∴AC=

2

，∠CAB=45°，∴D′E=

1

2

AC=

2

2

，
在直角△D′OE中，D′E=

2

2

，∴D′O=

6

4

∴VD-ABC=

1

3

S△ABC•D′O=

1

3

×

1

2

AC•BC•D′O=

1

6

×

2

×

2

×

6

4

=

6

12

．
故答案為：

6

12

點評：本題考查了二面角的求法，以及三棱錐體積的求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．