Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+m的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(-∞，-

1

2

 -ln2)

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出求出這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=

1

2

，再由題意可得f（

1

2

）
＜g（

1

2

），由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由于函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）都是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故這兩個(gè)函數(shù)在（0，+∞）上有2個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)x＞0時(shí)，令 h（x）=f（x）-g（x）=2x²+m-lnx，則 h′（x）=4x-

1

x

．
令h′（x）=0可得x=

1

2

，故這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，+∞）上相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=

1

2

．
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）=

1

2

+m，g（x）=ln

1

2

=-ln2，
函數(shù)f（x）=2x²+m的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)有

1

2

+m＜-ln2，
由此可得 m＜-

1

2

-ln2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (-∞，-

1

2

 -ln2)，
故答案為 (-∞，-

1

2

 -ln2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，求出這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，+∞）上
相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=

1

2

，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．