Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x-3）=f（-x-3），且該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，-1），在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2

6

．
（1）確定該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-6，-1]時(shí)，求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+b+c（a≠0），利用題中的條件求出a、b、c的值，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由于二次函數(shù)f(x)=-

1

3

x2-2x-1的對(duì)稱軸為 x=-3，且定義域?yàn)閇-6，-1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+b+c（a≠0），∵f（x）過(guò)點(diǎn)（0，-1），∴c=-1①．…（1分）
又f（x-3）=f（-x-3），∴f（x）對(duì)稱軸x=-

b

2a

=-3②．…（4分）
又|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( b a )2- 4c a

=2

6

③，…（7分）
由①②③式得a=-

1

3

，b=-2，c=-1，
∴f(x)=-

1

3

x2-2x-1．…（8分）
（2）由于二次函數(shù)f(x)=-

1

3

x2-2x-1的對(duì)稱軸為 x=-3，x∈[-6，-1]，
故當(dāng)x=-6時(shí)，y_min=-1，當(dāng)x=-3時(shí)，y_max=2，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．