Question

已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為，則該三角形的面積的最大值為   ▲   .  

 

Answer 1

【答案】

3/5

【解析】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

設(shè)AB=AC=2a，由D是AB的中點(diǎn)，得到AD=DB=a，

在△ADC中，根據(jù)余弦定理得：cosA=a²+4a²-3 2×a×2a =5a²-3 /4a₂ ，解得a²=3 /（5-4cosA ），

設(shè)△ADC的面積為S，

則S=1 /2 a•2a•sinA=a²sinA=3sinA /5-4cosA   ①，

．下研究求面積的最值

法一：求導(dǎo)得：S′=3cosA(5-4cosA)-12sin2A (5-4cosA)2 =15cosA-12 (5-4cosA)2 ，令S′=0，解得cosA=4/ 5 ，

當(dāng)cosA＜4 /5 時(shí)，S′＞0，S單調(diào)遞增；當(dāng)cosA＞4 /5 時(shí)，S′＜0，S單調(diào)遞減，

所以S在cosA=4 5 處取極大值，且極大值為最大值，此時(shí)sinA=3 /5