Question

設函數f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx-1(x∈R)
（I）化簡函數f（x）的表達式，并求函數f（x）的最小正周期和對稱中心；
（II）作函數f（x）在[0，π]內的圖象．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx-1(x∈R)，根據兩倍角公式，及輔助角公式，我們易將函數的解析式化為正弦型函數的形式，根據ω，φ值，可計算出函數f（x）的最小正周期對稱中心；
（II）分別令x的值取0，

π

6

，

5π

12

，

2π

3

，

11π

12

，π，代入（1）中所求的函數的解析式，求出對應的函數值，用描點法易畫出的圖象．

解答：解：（I）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1

=cos2x+ 3 sin2x =2sin(2x+ π 6 )(4分)

∴函數f（x）的最小正周期T=π，令2x+

π

6

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

12

，
所以圖象的對此中心為(

kπ

2

-

π

12

，0)(k∈Z)（6分）
（II）列表如下：

x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
y	1	2	0	-2	0	1

函數f（x）在[0，π]內的圖象如下圖所示（12分）．

點評：本題考查的知識點是五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的對稱性，其中利用兩倍角公式，及輔助角公式，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．