【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判定函數(shù)在的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若當(dāng)時(shí), 恒成立,求正整數(shù)的最大值.
【答案】(1) (2)減函數(shù) (3)3
【解析】試題分析:
(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ;
(2)對(duì)函數(shù) 求導(dǎo),結(jié)合題意和導(dǎo)函數(shù)的解析式可得=- <0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù).
(3)首先由不等式的性質(zhì)可得k的最大值不大于3,然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得滿足題意,即正整數(shù)的最大值是3.
試題解析:
解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
(Ⅱ)==- 設(shè),
故g(x)在(-1,0)上是減函數(shù),而g(x)>g(0)=1>0,
故=- <0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù).
(III)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>恒成立, 令x=1有k<2
又k為正整數(shù).∴k的最大值不大于3.
下面證明當(dāng)k=3時(shí),f(x)>(x>0)恒成立.
即證當(dāng)x>0時(shí), +1-2x>0恒成立.
令g(x)= +1-2x,則=-1,
當(dāng)x>e-1時(shí), >0;當(dāng)0<x<e-1時(shí), <0.
∴當(dāng)x=e-1時(shí),g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0.
∴當(dāng)x>0時(shí), +1-2x>0恒成立.
因此正整數(shù)k的最大值為3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足下列條件:在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì);反之,若不存在,則稱函數(shù)不具有性質(zhì).
(Ⅰ)證明:函數(shù)具有性質(zhì),并求出對(duì)應(yīng)的的值;
(Ⅱ)試分別探究形如①()、②(且)、③(且)的函數(shù),是否一定具有性質(zhì)?并加以證明.
(Ⅲ)已知函數(shù)具有性質(zhì),求的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為, 只與道路暢通狀況有關(guān),對(duì)其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如圖:
(分鐘) | 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(shù)(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn),與軸, 軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn),且,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn), 的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別做軸的垂線,垂足分別為.
(1) 若橢圓的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,求橢圓的方程;
(2)當(dāng)時(shí),若點(diǎn)平分線段,求橢圓的離心率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航,某時(shí)刻航行至處,此時(shí)測(cè)得其東北方向與它相距海里的處有一外國(guó)船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時(shí)該外國(guó)船只與島的距離;
(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn),此外國(guó)船只正以每小時(shí)海里的速度沿正南方向航行,為了將該船攔截在離島海里處,不讓其進(jìn)入島海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某土特產(chǎn)銷售總公司為了解其經(jīng)營(yíng)狀況,調(diào)查了其下屬各分公司月銷售額和利潤(rùn),得到數(shù)據(jù)如下表:
分公司名稱 | 雅雨 | 雅魚 | 雅女 | 雅竹 | 雅茶 |
月銷售額(萬(wàn)元) | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
月利潤(rùn)額(萬(wàn)元) | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
在統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)月銷售額和月利潤(rùn)額具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù),求月利潤(rùn)額與月銷售額之間的線性回歸方程;
(2)若該總公司還有一個(gè)分公司“雅果”月銷售額為10萬(wàn)元,試估計(jì)它的月利潤(rùn)額是多少?
(參考公式: , ,其中: , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng),時(shí),證明:(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形和均為平行四邊形,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn),以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn), , 的中點(diǎn)為, 的中點(diǎn)為,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在
之外的零件數(shù),求;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計(jì)算得, ,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸, .
用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,
, .
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