Question

【題目】已知實數(shù)，設函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若對任意的，均有，求的取值范圍．

注：為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）

【解析】

(1)求導后取出極值點,再分,兩種情況進行討論即可.

(2)當時得出的一個取值范圍,再討論時的情況,再對時構(gòu)造函數(shù)兩邊取對數(shù)進行分析論證時恒成立.

(1)由,解得．

①若,則當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞增；

當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞減．

②若,則當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞增；

當時,,故在內(nèi)單調(diào)遞減．

綜上所述,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增．

(2),即．

令,得,則．

當時,不等式顯然成立,

當時,兩邊取對數(shù),即恒成立．

令函數(shù),即在內(nèi)恒成立．

由,得．

故當時,,單調(diào)遞增；

當時,,單調(diào)遞減.

因此．

令函數(shù),其中,

則,得,

故當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增．

又,,

故當時,恒成立,因此恒成立,

即當時,對任意的,均有成立．