Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x+y-8=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）$．
（1）已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（4\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，請(qǐng)判斷點(diǎn)P與曲線C的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把橢圓的方程化為直角坐標(biāo)方程，即可判斷出位置關(guān)系．
（2）法1：因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，從而點(diǎn)Q到直線l的距離為 $d=\frac{{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}}{{\sqrt{1+1}}}$，化簡(jiǎn)再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
法2：直線l的平行線n方程可設(shè)為：x+y+t=0，與橢圓方程聯(lián)立化為 4x²+2tx+t²-3=0，利用△=0，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=4\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=4\\{y_0}=4\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=4\end{array}\right.$，得：P（4，4）．                                         …
$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）⇒\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}={cos^2}α+si{n^2}α=1$，
∵$\frac{4^2}{1}+\frac{4^2}{3}＞1$，
∴點(diǎn)P在曲線C ${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$外．
（2）法1：因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，
從而點(diǎn)Q到直線l的距離為  $d=\frac{{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}}{{\sqrt{1+1}}}$=$\frac{{8-2cos（α-\frac{π}{3}）}}{{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}cos（α-\frac{π}{3}）$，
當(dāng)$cos（α-\frac{π}{3}）=1$時(shí)，Q到直線l的距離d的最小值為$3\sqrt{2}$，
當(dāng)$cos（α-\frac{π}{3}）=-1$時(shí)，Q到直線l的距離d的最大值為$5\sqrt{2}$，
法2：直線l的平行線n方程可設(shè)為：x+y+t=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y+t=0\end{array}\right.$得 3x²+（x+t）²=3，即 4x²+2tx+t²-3=0，
△=4t²-16（t²-3）=-12t²+48=0⇒t=±2，
曲線C的兩切線方程為 x+y+2=0與x+y-2=0，
Q到直線l的距離d的最大值為 $d=\frac{|2-（-8）|}{{\sqrt{1+1}}}=5\sqrt{2}$，
Q到直線l的距離d的最小值為 $d=\frac{|-2-（-8）|}{{\sqrt{1+1}}}=3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．