15.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x+y-8=0,曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.(α為參數(shù))$.
(1)已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$(4\sqrt{2},\frac{π}{4})$,請(qǐng)判斷點(diǎn)P與曲線C的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值與最大值.

分析 (1)利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$,把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),把橢圓的方程化為直角坐標(biāo)方程,即可判斷出位置關(guān)系.
(2)法1:因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上,故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$(cosα,\sqrt{3}sinα)$,從而點(diǎn)Q到直線l的距離為 $d=\frac{{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}}{{\sqrt{1+1}}}$,化簡(jiǎn)再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
法2:直線l的平行線n方程可設(shè)為:x+y+t=0,與橢圓方程聯(lián)立化為 4x2+2tx+t2-3=0,利用△=0,再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出.

解答 解:(1)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為(x0,y0),則$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=4\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=4\\{y_0}=4\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=4\end{array}\right.$,得:P(4,4).                                         …
$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.(α為參數(shù))⇒\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}={cos^2}α+si{n^2}α=1$,
∵$\frac{4^2}{1}+\frac{4^2}{3}>1$,
∴點(diǎn)P在曲線C ${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$外.
(2)法1:因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上,故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$(cosα,\sqrt{3}sinα)$,
從而點(diǎn)Q到直線l的距離為  $d=\frac{{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}}{{\sqrt{1+1}}}$=$\frac{{8-2cos(α-\frac{π}{3})}}{{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}cos(α-\frac{π}{3})$,
當(dāng)$cos(α-\frac{π}{3})=1$時(shí),Q到直線l的距離d的最小值為$3\sqrt{2}$,
當(dāng)$cos(α-\frac{π}{3})=-1$時(shí),Q到直線l的距離d的最大值為$5\sqrt{2}$,
法2:直線l的平行線n方程可設(shè)為:x+y+t=0,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y+t=0\end{array}\right.$得 3x2+(x+t)2=3,即 4x2+2tx+t2-3=0,
△=4t2-16(t2-3)=-12t2+48=0⇒t=±2,
曲線C的兩切線方程為 x+y+2=0與x+y-2=0,
Q到直線l的距離d的最大值為 $d=\frac{|2-(-8)|}{{\sqrt{1+1}}}=5\sqrt{2}$,
Q到直線l的距離d的最小值為 $d=\frac{|-2-(-8)|}{{\sqrt{1+1}}}=3\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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