若數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且a1=a（0＜a＜1）
（1）若，求an+1的取值范圍．
（2）若，求證：
①，
②．
【答案】分析：（1）利用考察函數(shù)的單調(diào)性，由即可求出an+1的取值范圍；
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225251804308368/SYS201311012252518043083020_DA/2.png">，取倒數(shù)得到，從而得出化簡即可；
②由①得，得出，結(jié)合拆項(xiàng)求和即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225251804308368/SYS201311012252518043083020_DA/7.png">，所以，函數(shù)是增函數(shù)，
由，
∴．
an+1的取值范圍是
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225251804308368/SYS201311012252518043083020_DA/12.png">，
所以．
所以，即，
所以，
∴，
∴．
②由①，且0＜a＜1．
∴，
∴
點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列的求和、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
，
1
6
，…，若存在整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運(yùn)算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項(xiàng)和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•閔行區(qū)一模）已知無窮數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（a≠0，a≠1，n∈N*）．若數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為-
8
3
a，則a=
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且a1=a（0＜a＜1）
（1）若an+1=
an
1+an
，(n∈N*)，0＜an＜1，求an+1的取值范圍．
（2）若an+1≤
an
1+an
，(n∈N*)，求證：
①an≤
a
1+(n-1)a
，
②
n
k=1
ak
k+1
＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•閔行區(qū)一模）已知無窮數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，且an=（a+1）Sn+2（a≠0，a≠-1，n∈N*）．若數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為-a，則a=
-2
-2
．

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同步練習(xí)冊答案