Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列并求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+1=3S_n+2，知S_n=3S_n-1+2（n≥2），兩式作差可得a_n+1=3a_n（n≥2），然后驗(yàn)證第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的比是否滿足，從而證明{a_n}是等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解之即可；
（II）根據(jù)數(shù)列{na_n}的特點(diǎn)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n=3S_n-1+2（n≥2）
兩式相減得a_n+1=3a_n（n≥2）
∵S₁=2，S_n+1=3S_n+2
∴a₁+a₂=3a₁+2即a₂=6則

a2

a1

=3
∴

an+1

an

=3（n≥1）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列
∴a_n=2×3^n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵T_n=1•a₁+2•a₂+…+na_n=1×2+2×2×3¹+…+n×2×3^n-1，
∴3T_n=1×2×3+2×2×3²+…+（n-1）×2×3^n-1+n×2×3ⁿ，（9分）
∴-2T_n=2（1+3+3²+…3^n-1）-n×2×3ⁿ=2×

3n-1

3-1

-n×2×3ⁿ=3ⁿ（1-2n）-1（11分）
∴Tn=

(2n-1)3n+1

2

 （13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及求和，同時(shí)考查了利用錯(cuò)位相消法求和以及計(jì)算能力，屬于中檔題．