Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． （e 為自然常數(shù)，約等于2.718281828459）

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0（小于0），從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）得f（x）在 x∈[

1

e

-1，e-1]的單調(diào)性，進(jìn)一步求出f（x）_max，得到m的范圍；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，確定函數(shù)g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，從而問(wèn)題等價(jià)于只須g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)根，故可求．

解答：解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞），∵f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
則遞增區(qū)間是（-2，-1），（0，+∞），遞減區(qū)間是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）
（2）由f′(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上遞減，在[0，e-1]上遞增-------------（6分）
又f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f(e-1)=e2-2，且e2-2＞

1

e2

+2
∴x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，[f（x）]_max=e²-2，
故m＞e²-2時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0
記g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，則g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增  （11分）
為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)根，
于是有{

g(0)≥0， g(1)＜0， g(2)≥0.

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，同時(shí)考查了方程根的討論．解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍，一般是將參數(shù)分離出來(lái)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)的范圍．