Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{e}{x}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e²]內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e²]的最小值小于0，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ax-e}{{x}^{2}}$，（x＞0），
a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{e}{a}$，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{e}{a}$，
故函數(shù)f（x）在（0，$\frac{e}{a}$）遞減，在（$\frac{e}{a}$，+∞）遞增，
故函數(shù)f（x）只有極小值，
f（x）_極小值=f（$\frac{e}{a}$）=aln$\frac{e}{a}$+a，無極大值；
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e²]內(nèi)有解，
問題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e²]的最小值小于0，
（i）a≤0時，f′（x）＜0，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e²]內(nèi)為減函數(shù)，
故f（x）的最小值是f（e²）=2a+$\frac{1}{e}$＜0，
即a＜-$\frac{1}{2e}$；
（ii）a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{e}{a}$）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{e}{a}$，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
①若e²≤$\frac{e}{a}$，即0＜a≤$\frac{1}{e}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e²]內(nèi)為減函數(shù)，
由（i）知，f（x）的最小值f（e²）＜0時，a＜-$\frac{1}{2e}$與0＜a≤$\frac{1}{e}$矛盾；
②若e²＞$\frac{e}{a}$，即a＞$\frac{1}{e}$，
則函數(shù)f（x）的最小值是f（$\frac{e}{a}$）=aln$\frac{e}{a}$+a，
令f（$\frac{e}{a}$）=aln$\frac{e}{a}$+a＜0，得a＞e²，
綜上，實數(shù)a的范圍是（-∞，-$\frac{1}{2e}$）∪（e²，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．