Question

若方程|x²-x|-a=0恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則a=________．

Answer 1

分析：法一：首先由：|x²-x|-a=0，可得a≥0，然后分析若x²-x＞0時(shí)，由判別式可知此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又由x²-x＜0時(shí)，分析當(dāng)△=-4a+1＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=-4a+1=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=-4a+1＜0時(shí)，沒有的實(shí)數(shù)根，即可求得答案．
法二：根據(jù)題意作出y=|x²-x|的圖象，從圖象可知直線y=a與y=|x²-x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)即方程|x²-x|-a=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得到a的值．
解答：法一：∵|x²-x|-a=0，
∴|x²-x|=a，
∴a≥0，
若x²-x＞0，
則x²-x-a=0，
∴△=（-1）²+4a=4a+1＞0，
此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
若x²-x＜0，
則-x²+x-a=0，即則x²-x+a=0，
∴△=（-1）²-4a=-4a+1，
當(dāng)-4a+1＞0時(shí)，0≤a＜，
此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-4a+1=0時(shí)，a=，
此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-4a+1＜0時(shí)，a＞，
此時(shí)方程沒有的實(shí)數(shù)根；
∴當(dāng)0≤a＜時(shí)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)a=時(shí)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)a＞時(shí)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根．
法二：作函數(shù)y=|x²-x|的圖象，如圖．
由圖象知直線y=與y=|x²-x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程|x²-x|=也就是方程|x²-x|-=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此a=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．