Question

（2012•許昌縣一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸長(zhǎng)是2．
（I）求橢圓的方程；
（II）斜率為k經(jīng)過M （O，

2

）的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，是否在實(shí)數(shù)k使

OP

•

OQ

=0成立，若存在，求出k值．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸長(zhǎng)是2，可求幾何量，從而可求橢圓的方程；
（II）假設(shè)存在，設(shè)直線l：y=kx+

2

，代入

x2

2

+y2=1可得(1+2k2)x2+4

2

kx+2=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)

OP

•

OQ

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸長(zhǎng)是2．
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∵a²=b²+c²
∴a=

2

，c=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）假設(shè)存在，設(shè)直線l：y=kx+

2

，代入

x2

2

+y2=1可得(1+2k2)x2+4

2

kx+2=0
由△=32k²-4×2（1+2k²）＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x1+x2=-

4 2 k

1+2k2

，x1x2=

2

1+2k2

∴y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k2x1x2+

2

k(x1+x2)+2=

2-2k2

1+2k2

∵

OP

•

OQ

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

2

1+2k2

+

2-2k2

1+2k2

=0
∴k²=2
∴k=±

2

滿足題意
∴存在k=±

2

，使命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是將向量條件

OP

•

OQ

=0，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系x₁x₂+y₁y₂=0．