Question

10．如圖，P（x₀，y₀）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的上的點(diǎn)，l是橢圓在點(diǎn)P處的切線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OQ∥l與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)是Q，P，Q都在x軸上方
（1）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，利用題后定理寫出l的方程，并驗(yàn)證l確定是橢圓的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)（可以直接應(yīng)用定理）
①求△OPQ的面積
②求直線PQ在y軸上的截距的取值范圍．
定理：若點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{3}$+y₀y=1．

Answer 1

分析 （1）由定理求得切線方程，代入橢圓方程，由△=0，則直線l：x+y=2是在P點(diǎn)的橢圓的切線；
（2）①由定理求得P點(diǎn)的切線方程，即可求得OQ的方程，代入橢圓方程，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得丨OQ丨，則l與直線OQ之間的距離d，即可求得△OPQ的面積；
②由k_PQ=k_PM，即可求得m，由3=x₀²+3y₀²＜（x₀+$\sqrt{3}$y₀）²≤2（x₀²+3y₀²）=6，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{3}$+y₀y=1．
若P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），則$\frac{\frac{3}{2}x}{3}+\frac{1}{2}y=1$，整理得：直線l：x+y=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2-x}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x²-12x+9=0，
△=（12）²-4×4×9=0，
∴直線l：x+y=2是橢圓的切線；
（2）①設(shè)P（x₀，y₀），則x₀²+3y₀²=1，且切線l：$\frac{{x}_{0}x}{3}$+y₀y=1．
則OQ：x₀x+3y₀y=0，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+3{y}_{0}y=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}{y}_{0}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}{y}_{0}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}\end{array}\right.$
由Q在x軸上方，則Q（-$\sqrt{3}$y₀，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₀），
則丨OQ丨=$\sqrt{3{y}_{0}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}+9{y}_{0}^{2}}{3}}$，
由l與直線OQ之間的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+9{y}_{0}^{2}}}$，
由△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$×丨OQ丨×d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
②設(shè)直線PQ交y軸點(diǎn)M（0，m），由P（x₀，y₀），Q（-$\sqrt{3}$y₀，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₀），x₀x+3y₀y=0，
由k_PQ=k_PM，則$\frac{{y}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$，
則m=y₀-$\frac{{x}_{0}{y}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$，
3=x₀²+3y₀²＜（x₀+$\sqrt{3}$y₀）²≤2（x₀²+3y₀²）=6，
故m=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的切線方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)之間的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．