精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)為F,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若線段AB的中點(diǎn)在直線y=2上,求直線l的方程;
(Ⅱ)若|AB|=20,求直線l的方程.
分析:(I)利用“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出;
(II)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),與拋物線方程聯(lián)立化為k2x2-(4+2k2)x+k2=0,得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式|AB|=x1+x2+p即可得到k.
解答:解:(I)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M(x0,2),則x0=
x1+x2
2
2=
y1+y2
2
,kl=
y1-y2
x1-x2

y
2
1
=4x1
,
y
2
2
=4x2
,可得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
∴4kl=4,解得kl=1.
由y2=4x得焦點(diǎn)F(1,0).∴直線l的方程為:y=x-1.
(II)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),聯(lián)立
y=k(x-1)
y2=4x
化為k2x2-(4+2k2)x+k2=0,
x1+x2=
4+2k2
k2

∵|AB|=x1+x2+p=
4+2k2
k2
+2=10
,解得k=±
6
3

∴直線l的方程為y=±
6
3
(x-1)
點(diǎn)評(píng):本題考查了“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式|AB|=x1+x2+p等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn). A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C:x2=2py(p>0)與圓O:x2+y2=8相交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=0
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),直線l與圓O相切,切點(diǎn)在劣弧AB(含A、B兩點(diǎn))上,且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn),d是M、N兩點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求d的最大值,并求d取得最大值時(shí)直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•武昌區(qū)模擬)如圖,已知拋物線C:y2=4x,過(guò)點(diǎn)A(1,2)作拋物線C的弦AP,AQ.
(Ⅰ)若AP⊥AQ,證明直線PQ過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)假設(shè)直線PQ過(guò)點(diǎn)T(5,-2),請(qǐng)問(wèn)是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ?若存在,求出△APQ的個(gè)數(shù)?如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•徐州一模)如圖,已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與拋物線C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)兩點(diǎn),T為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).
(1)若
TA
TB
=1
,求直線l的斜率;
(2)求∠ATF的最大值.

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