Question

1．已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，焦距與長軸長的比為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求∠F₁AF₂的角平分線所在直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得到a與c，b與c的關(guān)系，可得橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，代入A的坐標(biāo)求得c值，則橢圓方程可求；
（2）由（1）求出橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AF₁、AF₂所在直線方程，設(shè)出∠F₁AF₂的角平分線上的點(diǎn)P（x，y），由P到兩直線距離相等可得∠F₁AF₂的角平分線所在直線l的方程；
（3）假設(shè)存在B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則l⊥BC，設(shè)直線BC的方程為$y=-\frac{1}{2}x+m$，代入橢圓E的方程，得：x²-mx+m²-12=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系求出BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線2x-y-1=0求得m值，驗(yàn)證判別式不成立，說明不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
由$\frac{2c}{2a}=\frac{1}{2}$，得：a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程具有形式$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$．
將A（2，3）代入上式，得：$\frac{1}{c^2}+\frac{3}{c^2}=1$，解得：c=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；
（2）解：由（1）知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴直線AF₁的方程為3x-4y+6=0，直線AF₂的方程為x=2．
由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù)．
設(shè)點(diǎn)P（x，y）為直線l上任意一點(diǎn)，則$\frac{|3x-4y+6|}{5}=\;|x-2|$，
化簡得：x+2y-8=0（斜率為負(fù)，舍）或2x-y-1=0．
∴∠F₁AF₂的角平分線所在直線l的方程為2x-y-1=0；
（3）假設(shè)存在B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則l⊥BC，
∴設(shè)直線BC的方程為$y=-\frac{1}{2}x+m$，
代入橢圓E的方程，得：x²-mx+m²-12=0．
由△=m²-4（m²-12）＞0，得：m∈（-4，4）．
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x₁+x₂=m，于是${y_1}+{y_2}=-\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{3m}{2}$，
∴線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\frac{m}{2}，\;\frac{3m}{4}}）$．
又線段BC的中點(diǎn)$（{\frac{m}{2}，\;\frac{3m}{4}}）$在直線2x-y-1=0上，∴$m-\frac{3m}{4}-1=0$，
解得：m=4∉（-4，4），
∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查存在性問題的求解方法，是中檔題．