Question

已知離心率為的橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F₁且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)離心率為的橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立方程，確定幾何量的值，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，根據(jù)，可得，再利用，求得k的值，即可求得l的方程．
解答：解：（1）依題意，離心率為的橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
∴，且
解得：a²=6，b²=2
故橢圓方程為…（4分）
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），則直線l的方程可設(shè)為y=k（x+2）
代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴，…（6分）
由得：，
∴…（9分）
又，原點(diǎn)O到l的距離，
則=
解得
∴l(xiāng)的方程是…（13分）
（用其他方法解答參照給分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確計(jì)算三角形的面積是關(guān)鍵．