Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=2的等比數(shù)列，且b₂S₂=16，b₁b₃=b₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足 ，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）∵{b_n}是首項(xiàng)b₁=2，公比為q的等比數(shù)列，b₁b₃=b₄，
∴2×2q²=2q³，而q≠0，
∴q=2，
∴b_n=2ⁿ，
∴b₂=4，
又?jǐn)?shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1的公差為d的等差數(shù)列，且b₂S₂=16，
∴S₂=4，即1+1+d=4，d=2，
∴a_n=2n-1，
（2）∵c₁+3c₂+3²c₃+…+3^n-1c_n=a_n①
∴c₁+3c₂+3²c₃+…+3^n-1c_n+3ⁿc_n+1=a_n+1②
②-①得：3ⁿ•c_n+1=2，
∴c_n+1=2•3^-n，
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=a₁=1
∴c_n=，
∴T₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1+2（3^-1+3^-2+…+3^1-n）
=1+2•
=1+1-
=2-，
∵n=1時(shí)，也適合
∴T_n=2-，n∈N^*．
分析：（Ⅰ）由{b_n}是首項(xiàng)b₁=2的等比數(shù)列，b₁b₃=b₄可求得其公比q=2，再結(jié)合數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1的等差數(shù)列，且b₂S₂=16，可求得等差數(shù)列的公差，繼而可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，可求c₁=a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1-a_n可求得c_n，從而可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，考查分類討論思想與化歸思想，屬于中檔題．