Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a1=

5

6

，且以a₁，a₂，a₃，…，a_n為系數(shù)的一元二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*，n≥2）都有根α，β，且兩個根α，β滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)韋達定理以及已知條件求得an=

1

3

an-1+

1

3

(n∈N*，n≥2)．進而得到an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)，再通過求數(shù)列{a_n-

1

2

]的通項公式來求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）利用（1）的結(jié)論以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式對所求問題分組求和即可．

解答：解：由3α-αβ+3β=1及韋達定理得3(α+β)-αβ=3

an

an-1

-

1

an-1

=1?an=

1

3

an-1+

1

3

(n∈N*，n≥2)．
（1）設(shè)有λ滿足an+λ=

1

3

(an-1+λ)?λ=-

1

2

，即an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)．
所以數(shù)列{a_n-

1

2

]是以（a1-

1

2

）為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
所以an-

1

2

=(a1-

1

2

)•(

1

3

)n-1?an=(

1

3

)n+

1

2

（n∈N^*）
（2）Sn=a1+a2++an=

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n+

n

2

=

n+1

2

-

1

2

•(

1

3

)n

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及等差等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，是對知識的綜合考查，屬于中檔題目．