Question

在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
AD的中點(diǎn)．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）證明：以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DB=1，則 CE=CA=CB=2．
由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，），∴=（1，1-），
=（-2，2，0），∴=-2+2+0=0，∴，∴EM⊥AB．
（2）由（1）知 =（1，-1， ），=（-2，2，1），=（-2，0，2），=（0，-2，1）．
設(shè)面ADE的法向量為 =（x，y，z），則 ，即 ，
取 =（2，1，2）設(shè)直線BM和平面ADE所成角為θ，則 sinθ=|cos＜，＞=||=．
分析：（1）以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù) =0，得到 ，從而有 EM⊥AB．
（2）由（1）知 的坐標(biāo)，求出面ADE的法向量為 的坐標(biāo)，設(shè)直線BM和平面ADE所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞=||．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量垂直的條件，兩個(gè)向量的夾角公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，注意本題中sinθ=|cos＜，＞|．