Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷三棱錐M-EFG的體積是否為定值，若是，求出該三棱錐的體積；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得到CD⊥平面PAD，而△PDC的中位線EF∥CD，得EF⊥平面PAD，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得平面EFG⊥平面PAD；
（2）由線面平行的判定定理，得到CD∥平面EFG，故CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，從而將三棱錐M-EFG的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐D-EFG的體積．根據(jù)題意，不難算出△EFG的面積和D到平面EFG的距離，可得出三棱錐M-EFG的體積等于是定值．

解答：解：（1）∵△PDC中，E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，…（4分）
∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD； （6分）
（2）∵CD∥EF，CD?平面EFG，EF⊆平面EFG，
∴CD∥平面EFG，故CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，（8分）
設(shè)平面EFGH交平面PAD于EH，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH
∴V_M-EFG=V_D-EFG，且S△EFG=

1

2

×EF×EH=2，
∵正三角形DEH中，HD=2，可得EH邊上的高為

3

2

×2=

3

∴D到平面EFG的距離即三角形EHD的高，等于

3

（10分）
∴VM-EFG=

1

3

S△EFG×

3

=

2 3

3

，即三棱錐M-EFG的體積等于

2 3

3

（定值）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱柱，求證面面垂直并且探索三棱錐體積是否為定值，著重考查了線面平行的判定、面面垂直的判定和性質(zhì)和點(diǎn)到平面距離等知識(shí)，屬于中檔題．