Question

（2012•肇慶一模）如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足等式（x-2）²+y²=3，那么

y

x

的最大值是

3

．

Answer 1

分析：設(shè)

y

x

=k，

y

x

的最大值就等于連接原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線(xiàn)中斜率的最大值，由數(shù)形結(jié)合法的方式，易得答案．

解答：解：設(shè)

y

x

=k，則y=kx表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，k為直線(xiàn)的斜率．
所以求

y

x

的最大值就等價(jià)于求同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線(xiàn)中斜率的最大值．
從圖中可知，斜率取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)斜率為正且與圓相切，
此時(shí)的斜率就是其傾斜角∠EOC的正切值．
易得|OC|=2，|CE|=r=

3

，可由勾股定理求得|OE|=1，
于是可得到k=tan∠EOC=

|CE|

|OE|

=

3

，即為

y

x

的最大值．
故答案為：

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．