Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，g（x）=x-

a

x

，a＜2

2

-3．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增；
（2）函數(shù)g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（3）若對任意x∈（0，1]，函數(shù)h（x）=x|x-b|+a的圖象在x軸下方，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求解f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，只需解得f′（x）＞0即可．
（2）已知g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，令g′（x）≤0，解出a的取值范圍．
（3）函數(shù)h（x）在x軸的下方，得h（x）＜0，解出f（x）＜b＜g（x），從而得到f（x）_max＜b＜g（x）_min，x∈（0，1]．借助（1）、（2），對a分兩種情況進(jìn)行討論，分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，即得b的取值范圍．

解答：解：
（1）∵f（x）=x+

a

x

，∴f′（x）=1-

a

x2

＞0∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增；
（2）依題意得g′（x）=1+

a

x2

≤0，即a≤-x²，
∵0＜x≤1，
∴-1≤x²＜0；
∵-1＜2

2

-3
∴a≤-1
（3）∵h(yuǎn)（x）＜0，即|x-b|＜-

a

x

，∴x+

a

x

＜b＜x-

a

x

，即f（x）＜b＜g（x），
∴f（x）_max＜b＜g（x）_min，x∈（0，1]．
1°當(dāng)-1＜a＜2

2

-3時，由（1）知f（x）_max=f（1）=1+a，
而g（x）=x-

a

x

≥2

-a

，當(dāng)且僅當(dāng)x=-

a

x

時，等號成立∴1+a＜b≤2

-a

．
2°當(dāng)a≤-1時，可得g（x）最小值為g（1）=1-a，
又由（1）知f（x）最大值仍為f（1）=1+a，∴1+a＜b＜1-a．
綜上所述，當(dāng)-1＜a＜2

2

-3時，∴1+a＜b＜2

-a

；
當(dāng)a≤-1時，1+a＜b＜1-a．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等關(guān)于函數(shù)的基礎(chǔ)知識，當(dāng)然本題還應(yīng)用了不等式的求解，屬于一道綜合題，應(yīng)熟練掌握．